a) Chứng minh tứ giác ACDM là tứ giác nội tiếp. (1 điểm)
Xét (left( O right)): (angle AMB = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
( Rightarrow angle AMD = {90^0}) (kề bù (angle AMB = {90^0}))
Mà (angle ACD = {90^0},,left( {d bot CB} right))
( Rightarrow angle AMD + angle ACD = {180^0})
Xét tứ giác (ACDM): (angle AMD + angle ACD = {180^0})
Mà (angle AMD,,,angle ACD) là 2 góc đối nhau
( Rightarrow ) Tứ giác (ACDM) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt).
b) Chứng minh: BM.BD = BA.BC (1 điểm)
Xét (Delta BMA) và (Delta BCD)
(begin{array}{l}angle CBD,,chungangle BMA = angle BCD = {90^0} Rightarrow Delta BMA sim Delta BCD,,left( {g.g} right)end{array})
( Rightarrow dfrac{{BM}}{{BC}} = dfrac{{BA}}{{BD}}) (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
( Rightarrow BM.BD = BA.BC,,,left( {dpcm} right))
c) Chứng minh MA là phân giác (angle CME) (1 điểm)
Xét (left( O right)): (angle AEB = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
( Rightarrow Delta AEB) vuông tại (E)
( Rightarrow angle ABE + angle BAE = {90^0}).
Mà (angle CDA + angle CAD = {90^0}) (do (Delta ACD) vuông tại (C)).
(angle CAD = angle BAE) (2 góc đối đỉnh).
( Rightarrow angle ABE = angle CDA,,left( 1 right))
Xét (left( O right)): (angle ABE = angle AME) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung (AE)) (2)
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác (ACDM): (angle CDA = angle CMA) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung (AC)) (3)
Từ (1), (2), (3) ( Rightarrow angle CMA = angle EMA Rightarrow MA) là tua phân giác của (angle CME) (đpcm).
d) Giả sử CA = 4 cm; AB = 9 cm. Tìm vị trí của điểm M trên (O) để khoảng cách giữa hai điểm D và E nhỏ nhất. (0.5 điểm)
(DE = DA + AEmathop ge limits^{Co – si} 2sqrt {DA.AE} )
Ta chứng minh được (DA.AE = AC.AB = 4.9 = 36).
(begin{array}{l} Rightarrow DE ge 2sqrt {36} Leftrightarrow DE ge 12 Rightarrow D{E_{min }} = 12 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}DA = AEDE = 12end{array} right. Rightarrow DA = AE = 6,,cmend{array})
(DC = sqrt {D{A^2} – A{C^2}} = sqrt {{6^2} – {4^2}} = sqrt {20} ).
(Delta CDB) vuông tại (C Rightarrow tan angle CBD = dfrac{{CD}}{{CB}} = dfrac{{sqrt {20} }}{{13}}).
Vậy (DE) nhỏ nhất ( = 12 Leftrightarrow M in left( O right)) sao cho (tan angle CBD = dfrac{{sqrt {20} }}{{13}}).