Question 1: Cho 10 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn, số tam giác tạo thành là
Để tạo thành một tam giác, ta cần chọn 3 điểm từ 10 điểm phân biệt. Số cách chọn 3 điểm từ 10 điểm là tổ hợp chập 3 của 10.
C103=3!(10−3)!10!=3!7!10!=3×2×110×9×8=10×3×4=120
Vậy, số tam giác tạo thành là 120.
Question 2: Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một tổ 6 người trong đó có nhiều nhất 2 nữ?
Tổng số người là 14 (8 nam, 6 nữ). Chọn một tổ 6 người có nhiều nhất 2 nữ có nghĩa là số nữ có thể là 0, 1 hoặc 2.
Trường hợp 1: Chọn 0 nữ và 6 nam. Số cách chọn: C60×C86=1×6!2!8!=1×28×7=28
Trường hợp 2: Chọn 1 nữ và 5 nam. Số cách chọn: C61×C85=6×5!3!8!=6×3×2×18×7×6=6×56=336
Trường hợp 3: Chọn 2 nữ và 4 nam. Số cách chọn: C62×C84=2!4!6!×4!4!8!=26×5×4×3×2×18×7×6×5=15×70=1050
Tổng số cách chọn: 28+336+1050=1414
Question 3: Có bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số đó thuộc tập hợp {1; 2; 3;…; 9}?
Để tạo một số có ba chữ số đôi một khác nhau từ tập hợp {1; 2; 3;…; 9}, ta cần chọn 3 chữ số và sắp xếp chúng theo thứ tự. Đây là một chỉnh hợp chập 3 của 9 phần tử.
Số cách chọn: A93=(9−3)!9!=6!9!=9×8×7=504
Question 4: Cho n điểm phân biệt. Xét tất cả các véc-tơ khác 0<path d=’M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5
3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z’/>, có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho. Số véc-tơ thoả mãn là
Để tạo một véc-tơ khác 0 từ n điểm phân biệt, ta cần chọn 2 điểm phân biệt làm điểm đầu và điểm cuối. Nếu chọn điểm A làm điểm đầu và điểm B làm điểm cuối, ta có véc-tơ AB. Nếu chọn điểm B làm điểm đầu và điểm A làm điểm cuối, ta có véc-tơ BA. Vì AB=BA (trừ khi A trùng B, nhưng đề bài là véc-tơ khác 0), nên thứ tự chọn điểm là quan trọng.
Số cách chọn 2 điểm phân biệt từ n điểm và sắp xếp chúng là chỉnh hợp chập 2 của n.
Số véc-tơ: An2=(n−2)!n!=n(n−1)
Question 5: Cho 2 đường thẳng a và b song song với nhau. Trên đường thẳng a ta chọn 10 điểm phân biệt và trên đường thẳng b ta chọn 11 điểm phân biệt. Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ các điểm đã chọn ở trên?
Một hình thang có 4 đỉnh, trong đó hai cạnh đáy song song với nhau. Vì hai đường thẳng a và b song song, để tạo thành hình thang, ta phải chọn 2 điểm trên đường thẳng a và 2 điểm trên đường thẳng b.
Số cách chọn 2 điểm trên đường thẳng a (có 10 điểm): C102=210×9=45
Số cách chọn 2 điểm trên đường thẳng b (có 11 điểm): C112=211×10=55
Số hình thang được tạo thành là tích của số cách chọn điểm trên mỗi đường thẳng.
Số hình thang: C102×C112=45×55=2475
Question 6: Nếu Cⁿ₃ = 10 thì n có giá trị là
Ta có công thức tổ hợp: Cnk=k!(n−k)!n!
Cn3=3!(n−3)!n!=3×2×1n(n−1)(n−2)=6n(n−1)(n−2)
Theo đề bài: 6n(n−1)(n−2)=10
n(n−1)(n−2)=60
Ta cần tìm một số nguyên n sao cho tích của ba số nguyên liên tiếp giảm dần bằng 60. Thử các giá trị của n: Nếu n = 3, 3×2×1=6=60 Nếu n = 4, 4×3×2=24=60 Nếu n = 5, 5×4×3=60
Vậy, n = 5.
Question 7: Số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là
Hai đường tròn phân biệt có thể cắt nhau tối đa tại 2 điểm.
Để tìm số giao điểm tối đa của 5 đường tròn, ta chọn 2 đường tròn bất kỳ từ 5 đường tròn, và mỗi cặp đường tròn này có thể tạo ra 2 giao điểm.
Số cặp đường tròn có thể chọn từ 5 đường tròn là C52.
C52=2!(5−2)!5!=2×15×4=10
Mỗi cặp đường tròn tạo ra tối đa 2 giao điểm.
Số giao điểm tối đa: 10×2=20
Question 8: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau. Trên d₁ có 10 điểm phân biệt, trên d₂ có n điểm phân biệt (n ≥ 2). Biết rằng có 1725 tam giác có các đỉnh là ba trong số các điểm thuộc d₁ và d₂ nói trên. Tìm tổng các chữ số của n.
Để tạo thành một tam giác từ các điểm trên d₁ và d₂, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Chọn 2 điểm trên d₁ và 1 điểm trên d₂. Số cách chọn: C102×Cn1=210×9×n=45n
Trường hợp 2: Chọn 1 điểm trên d₁ và 2 điểm trên d₂. Số cách chọn: C101×Cn2=10×2n(n−1)=5n(n−1)
Tổng số tam giác là 1725.
45n+5n(n−1)=1725 45n+5n2−5n=1725 5n2+40n=1725 Chia cả hai vế cho 5: n2+8n=345 n2+8n−345=0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0: x=2a−b±b2−4ac Ở đây, a=1,b=8,c=−345.
Δ=b2−4ac=82−4(1)(−345)=64+1380=1444
Δ=1444=38
n=2−8±38
n1=2−8+38=230=15
n2=2−8−38=2−46=−23 (loại vì n phải là số điểm, n ≥ 2)
Vậy, n = 15.
Tổng các chữ số của n là 1+5=6.
Question 9: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
Gọi n là số cạnh của đa giác đều (n ≥ 3).
Số đường chéo của một đa giác n cạnh là D=Cn2−n. D=2n(n−1)−n=2n(n−1)−2n=2n2−n−2n=2n2−3n
Theo đề bài, số đường chéo gấp đôi số cạnh, tức là D=2n.
2n2−3n=2n
n2−3n=4n
n2−7n=0
n(n−7)=0
Vì n ≥ 3, nên n=0.
Vậy, n−7=0⇒n=7.
Đa giác đó có 7 cạnh (là hình thất giác đều).
Question 10: Gọi n₁, n₂ là hai nghiệm của phương trình Cn11−Cn+121=6Cn+117. Khi đó n₁² + n₂² bằng
Điều kiện xác định: Cn1 có nghĩa khi n≥1. Cn+12 có nghĩa khi n+1≥2⇒n≥1. Cn+11 có nghĩa khi n+1≥1⇒n≥0. Kết hợp các điều kiện, ta có n≥1.
Các công thức tổ hợp: Cn1=n Cn+11=n+1 Cn+12=2!(n+1−2)!(n+1)!=2!(n−1)!(n+1)!=2(n+1)n
Thay vào phương trình:
n1−2(n+1)n1=6(n+1)7
n1−n(n+1)2=6(n+1)7
Quy đồng mẫu số vế trái:
n(n+1)n+1−2=6(n+1)7
n(n+1)n−1=6(n+1)7
Với điều kiện n≥1, ta có n+1=0. Ta có thể nhân chéo hoặc chia cả hai vế cho (n+1).
nn−1=67
6(n−1)=7n
6n−6=7n
−6=7n−6n
n=−6
Tuy nhiên, điều kiện xác định là n≥1. Giá trị n=−6 không thỏa mãn điều kiện này.
Có vẻ như có một sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc các lựa chọn đáp án, vì phương trình chỉ cho ra một nghiệm không hợp lệ. Nếu đề bài yêu cầu tìm n12+n22 thì phải có ít nhất hai nghiệm hợp lệ.
Giả sử rằng phương trình có thể có nghiệm khác nếu các điều kiện xác định được nới lỏng hoặc có một cách giải thích khác.
Nếu ta không chia cho (n+1) ngay mà chuyển vế:
n(n+1)n−1−6(n+1)7=0
6n(n+1)6(n−1)−7n=0
Để phân số bằng 0, tử số phải bằng 0 và mẫu số khác 0.
6(n−1)−7n=0 6n−6−7n=0 −n−6=0 n=−6
Nghiệm này vẫn không thỏa mãn điều kiện n≥1.
Có thể đề bài có lỗi hoặc tôi đã hiểu sai điều kiện. Tuy nhiên, với các công thức tổ hợp và điều kiện n≥1, phương trình này không có nghiệm hợp lệ.
Nếu giả sử rằng có một lỗi đánh máy và phương trình là một dạng khác, ví dụ, nếu nó dẫn đến một phương trình bậc hai với các nghiệm dương.
Nếu chúng ta bỏ qua điều kiện n≥1 và chỉ giải phương trình đại số, ta chỉ có một nghiệm n=−6.
Nếu đề bài muốn hỏi về một phương trình khác mà có hai nghiệm n1,n2 thì không thể giải được với phương trình đã cho.
Với phương trình đã cho, chỉ có một nghiệm n=−6, nhưng nghiệm này không hợp lệ cho Cn1. Do đó, không thể tìm được n12+n22 từ phương trình này.
