Lấy ví dụ như tìm cách biểu diễn sin(x) theo e và i đi. Mình có thể làm được điều đó mà không cần chứng minh sin(x) là hàm lẻ và cos(x) là hàm chẵn.
eix = cos(x) + i sin(x)
eix – cos(x) = i sin(x)
Giờ mình thử biểu diễn cos(x) theo sin(x) xem sao.
sin(x)2 + cos(x)2 = 1
cos(x)2 = 1 – sin(x)2
cos(x) = √(1 – sin(x)²)
Thế vào phương trình:
eix – √(1 – sin(x)²) = i sin(x)
-√(1 – sin(x)²) = i sin(x) – eix | đổi chỗ eix cho dễ nhìn
√(1 – sin(x)²) = -i sin(x) + eix | đổi chỗ -1 cho dễ nhìn
1 – sin(x)2 = (-i sin(x) + eix )2 | bình phương hai vế
1 – sin(x)2 = (-i)2 sin(x)2 – 2i sin(x)eix + eix2 | khai triển
1 – sin(x)² = -sin(x)2 – 2i sin(x)eix + ei2x | rút gọn
1 – sin(x)2 + sin(x)2 = -2i sin(x)eix + ei2x | chuyển sin(x)2
1 = -2i sin(x)eix + ei2x | tính toán
1 – ei2x = -2i sin(x)eix | chuyển ei2x
-(1 – ei2x ) / (2ieix ) = sin(x) | chia cả hai vế cho -2i eix
sin(x) = (-1 + ei2x ) / (2i eix ) | rút gọn
sin(x) = (-1 + ei2x ) e-ix / 2i | chuyển e-ix lên trên cho dễ rút gọn
sin(x) = (-e-ix + ei2x × e-ix ) / 2i | nhân vào
sin(x) = (-e-ix + ei2x-ix ) / 2i | tính toán
sin(x) = (-e-ix + eix ) / 2i | tính toán
Đúng rồi đấy.
Nhưng cách đơn giản hơn nhiều là:
e-ix = cos(-x) + i sin(-x)
Vì cos là hàm chẵn và sin là hàm lẻ, nên ta có:
e-ix = cos(x) – i sin(x)
Để tìm hàm số sin,
eix – e-ix = cos(x) + i sin(x) – (cos(x) – i sin(x))
eix – e-ix = cos(x) + i sin(x) – cos(x) + i sin(x)
eix – e-ix = 2i sin(x)
sin(x) = (eix – e-ix) / 2i
Một cách chứng minh thanh lịch hơn nhiều. Tuy nhiên, ít nhất là với mình thì việc nghĩ ra việc tìm giá trị của e-ix và cộng hoặc trừ với eix không phải là điều dễ nghĩ ra. Thêm nữa, để tính toán, mình đã giả sử cos(x) là hàm chẵn và sin(x) là hàm lẻ.
Nhưng làm sao mình biết được cos(x) là hàm chẵn và sin(x) là hàm lẻ?
Mình đã xem một vài bài chứng minh nhưng mình không hiểu được logic của nó.