a) Tam giác SAD có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra SAD=60°. Tứ giác ABCD là hình vuông nên (overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} ), suy ra (AS→,BC→)=(AS→,AD→)=SAD=60°. Do đó AS→⋅BC→=|AS→|⋅|BC→|⋅cos60°=a⋅a⋅12=a22
b) Tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo AC là (sqrt 2 a). Tam giác SAC có (SA = SC = a) và (AC = sqrt 2 a) nên tam giác SAC vuông cân tại (S), suy ra SAC=45°. Do đó AS→⋅AC→=|AS→|⋅|AC→|⋅cosSAC=a⋅2a⋅22=a2.
c) Gọi ({rm{O}}) là giạo điểm của hai đường chéo ({rm{AC}}) và ({rm{BD}}) trong hình vuông ({rm{ABCD}}). Do đó, ({rm{O}}) là trung diểm của ({rm{BD}},{rm{O}}) là trung diếm của ({rm{AC}}).
Tứ giác ({rm{ABCD}}) là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo ({rm{BD}}) là a2⇒OB=a22
Gọi ({rm{E}}) là trung điểm của ({rm{SC}}). Mà ({rm{O}}) là trung diểm của ({rm{AC}}) nên ({rm{OE}}) là đường trung bình của tam giác ({rm{SAC}}), do đó, ({rm{OE}}//{rm{SA}},OE = frac{1}{2}SA = frac{a}{2}). Suy ra: (overrightarrow {AS} = 2overrightarrow {OE} )
Vì ({rm{O}}) là trung diểm của ({rm{BD}}) nên (overrightarrow {BD} = 2overrightarrow {OB} )
Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, $B E$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ({rm{SBC}}). Do đó, (EB = frac{{asqrt 3 }}{2}).
Ta có: (O{E^2} + O{B^2} = frac{{{a^2}}}{4} + frac{{{a^2}}}{2} = frac{{3{a^2}}}{4} = E{B^2}) nên EOB vuông tại ({rm{O}}). Do đó, (overrightarrow {OE} bot overrightarrow {OB} )
Ta có: (overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {BD} = 2overrightarrow {OE} cdot ( – 2overrightarrow {OB} ) = – 4overrightarrow {OE} cdot overrightarrow {OB} = 0)
d) Tứ giác ABCD là hình vuông nên (overrightarrow {CD} = overrightarrow {BA} )
Ta có: (overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {CD} = overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {BA} = – overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {AB} = – |overrightarrow {AS} | cdot |overrightarrow {AB} |cos (overrightarrow {AS} ,overrightarrow {AB} ) = – |overrightarrow {AS} | cdot |overrightarrow {AB} |cos SAB)
Vì tam giác ({rm{SAB}}) có ba cạnh bằng nhau nên tam giác ({rm{SAB}}) dều, suy ra SAB=60°
Suy ra: AS→⋅CD→=−|AS→|⋅|AB→|cosSAB=−a⋅a⋅cos60°=−a22
