Có $A B$ song song với $C D$ nên hai tam giác $A B C$ và $A D C$ có chiều cao bằng nhau.
Xét hai tam giác $A D C$ và $A B C$ có $D C=2 times A B$ và chiều cao bằng nhau nên $S_{A D C}=2 times S_{A B C}=2 times 60=120left(mathrm{~cm}^2right)$.
Do đó, $S_{A B C D}=S_{A B C}+S_{A D C}=60+120$= $180 left(mathrm{~cm}^2right)$
Nối điểm ${N}$ với điểm ${C}$
Xét hai tam giác $D A M$ và $D C M$ có $A M=C M$ và chung chiều cao hạ từ $D$ xuống $A C$ nên $S_{D A M}=S_{D C M}$.
Mà $S_{D A M}+S_{D C M}=S_{A D C}$ nên $S_{D A M}=S_{D C M}=dfrac{1}{2} times S_{A D C}=dfrac{1}{2} times 120=60left(mathrm{~cm}^2right)$
Vì $M N=2 times D N$ nên $D N=dfrac{1}{3} times D M$.
Xét hai tam giác $D A N$ và $D A M$ có $D N=dfrac{1}{3} times D M$ và chung chiều cao hạ từ $A$ xuống $D M$ nên $S_{D A N}=dfrac{1}{3} times S_{D A M}=dfrac{1}{3} times 60=20left(mathrm{~cm}^2right)$.
Suy ra, $S_{text {NAM }}=S_{D A M}-S_{D A N}=60-20=40left(mathrm{~cm}^2right)$.
Xét hai tam giác $N A M$ và $N C M$ có $A M=C M$ và chung chiều cao hạ từ $N$ xuống $A C$ nên $S_{N A M}=S_{N C M}=40left(mathrm{~cm}^2right)$.
Do đó $S_{A N C}=S_{N A M}+S_{N C M}=40+40=80left(mathrm{~cm}^2right)$.
Mà $S_{D A M}-S_{N A M}=S_{D C M}-S_{N C M}$ nên $S_{D A N}=S_{D C N}=20left(mathrm{~cm}^2right)$.
Suy ra $dfrac{S_{D A N}}{S_{A N C}}=dfrac{20}{80}=dfrac{1}{4}$. Mà hai tam giác $D A N$ và $A N C$ có chung đáy $A N$ nên chiĉ̀u cao hạ từ $D$ xuống $A N$ bằng $frac{1}{4}$ chiĉ̀u cao hạ từ $C$ xuống $A N$.
Xét hai tam giác $D N P$ và $C N P$ chung đáy $N P$ và chiều cao hạ từ $D$ xuống $A N$ bằng $dfrac{1}{4}$ chiều cao hạ từ $C$ xuống $A N$ nên $S_{D N P}=dfrac{1}{4} times S_{C N P}$.
Mà $S_{D N P}+S_{C N P}=S_{D C N}$ nên $S_{D N P}=dfrac{1}{5} times S_{D C N}=dfrac{1}{5} times 20=4left(mathrm{~cm}^2right)$.