Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.
Đường vuông góc và đường xiên lớp 7 (Lý thuyết Toán 7 Cánh diều)
(199k) Xem Khóa học Toán 7 CD
Lý thuyết Đường vuông góc và đường xiên
1. Đường vuông góc và đường xiên
Trong hình vẽ trên, ta gọi:
– Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d;
– Điểm H là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d;
– Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d;
– Đoạn thẳng AB là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Ví dụ: Quan sát hình vẽ dưới đây:
Hãy cho biết:
a) Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d; khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng độ dài đoạn thẳng nào?
b) Đoạn thẳng nào là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d?
Hướng dẫn giải
a) Vì AH vuông góc với đường thẳng d tại H do đó:
Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là điểm H.
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD là AH = 5cm (do BD ≡ d).
b) Các đoạn thẳng AB; AC; AD là các đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
– Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Ví dụ: Qua điểm O nằm ngoài đường thẳng a kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng a và cắt a tại B. Lấy hai điểm A và C nằm trên đường thẳng a và nằm về hai phía so với điểm B sao cho OAB^=60° ; OCB^=45°. So sánh độ dài các đoạn thẳng OA; OB; OC.
Hướng dẫn giải
Vì OB là đường vuông góc kẻ từ điểm O đến đường thẳng a và OA; OC là các đường xiên kẻ từ O đến đường thẳng a nên OB là đoạn thẳng ngắn nhất
Do đó OB < OA; OB < OC (1)
Xét ∆OAC có OAC^>OCA^(vì 60° > 45°)
Suy ra: OC > OA (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OB < OA < OC.
Vậy OB < OA < OC.
Bài tập Đường vuông góc và đường xiên
Bài 1. Trong mỗi hình sau, chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên kẻ từ điểm C (hình a) và từ điểm D (hình b) (nếu có):
Hướng dẫn giải
– Quan sát hình a ta có:
Đường vuông góc kẻ từ điểm C tới Ox là CA vì CA ⊥ Ox tại A;
Đường vuông góc kẻ từ điểm C tới Oy là CB vì CB ⊥ Oy tại B;
Đoạn thẳng CO là đường xiên kẻ từ điểm C đến tia Ox và tia Oy.
– Quan sát hình b ta có:
Đường vuông góc kẻ từ điểm D tới BA là DA vì DA ⊥ AB tại A;
Đường vuông góc kẻ từ điểm D tới BC là DN vì DN ⊥ BC tại N;
Đoạn thẳng DM là đường xiên kẻ từ D tới AB;
Đoạn thẳng DC là đường xiên kẻ từ D tới BC;
Đoạn thẳng DB là đường xiên kẻ từ D tới AB và BC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AH, BK, CL là các đường cao kẻ từ các đỉnh tương ứng. Chứng minh rằng: AH + BK + CL < AB + BC + CA.
Hướng dẫn giải:
+) Ta có:
• AH là đường vuông góc;
• AB, AC là các đường xiên kẻ từ A tới BC.
Do đó AH < ABAH < AC nên AH + AH < AB + AC
Hay 2AH < AB + AC
Suy ra AH < 12(AB + AC) (1)
+) Ta có BK là đường vuông góc và BA, BC là các đường xiên kẻ từ B tới AC.
Do đó BK < BABK < BC nên 2BK < BA + BC
Suy ra BK < 12(BA + BC) (2)
+) Ta có CL là đường vuông góc và CB, CA là các đường xiên kẻ từ B tới AB.
Do đó CL < CACL < CB nên 2CL < CA + CB
Suy ra CL < 12(CA + CB) (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra:
AH + BK + CL < 12(AB + AC) + 12(BA + BC) + 12(CA + CB)
Suy ra AH + BK + CL < 12AB + 12AC + 12BA +12BC +12CA + 12CB
AH + BK + CL < 12AB + 12BA + 12BC + 12CB +12AC +12CA
Hay AH + BK + CL < AB + BC + CA.
Vậy AH + BK + CL < AB + BC + CA.
Bài 3.Cho ∆ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C trên đường thẳng BM. So sánh BD + BE và 2AB.
Hướng dẫn giải
Vì D, E lần lượt là hình chiếu của A và C trên đường thẳng BM
Nên AD ⊥ BM tại D suy ra ADM^=90°
Và CE ⊥ BM tại E suy ra CEM^=90°
Xét ∆ADM và ∆CEM có:
ADM^=CEM^=90°,
AM = CM (vì M là trung điểm của AC),
AMD^=CME^ (hai góc đối đỉnh).
Suy ra ∆ADM = ∆CEM (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó DM = EM (hai cạnh tương ứng)
Ta có: BD + BE
= BD + (BM + ME)
= (BD + ME) + BM
Mà DM = ME (chứng minh trên)
Nên BD + BE = (BD + DM) + BM
= BM + BM = 2BM (1)
Vì ∆ABM có BAM^=90° (do DABC vuông tại A) nên ∆ABM vuông tại A.
Suy ra BM > AB (vì trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất).
Hay 2BM > 2AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD + BE = 2BM > 2AB.
Vậy BD + BE > 2AB.
Bài 4. Cho ∆ABC có C^=90° , AC < BC, kẻ CH ⊥ AB tại H. Trên các cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = BC, CN = CH. Chứng minh rằng:
a) MN ⊥ AC;
b) AC + BC < AB + CH.
Hướng dẫn giải
Xét ∆BMC có BM = BC (giả thiết) nên ∆BMC cân tại B.
Suy ra BMC^=BCM^ (tính chất tam giác cân) (1)
Vì CH ⊥ AB tại H nên ∆CHM vuông tại H.
Suy ra CMH^+MCH^=90° (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Hay MCH^+BMC^=90° (2)
Từ (1) và (2) suy ra MCH^+MCB^=90° (3)
Ta có NCM^+MCB^=90° (vì ∆ABC vuông tại C) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: NCM^=MCH^
Xét ∆NCM và ∆HCM có:
CN = CH (giả thiết),
NCM^=MCH^ (chứng minh trên),
CM là cạnh chung.
Suy ra ∆NCM = ∆HCM (c.g.c)
Suy ra MNC^=MHC^=90° (hai góc tương ứng)
Do đó MN ⊥ AC tại N.
Vậy MN ⊥ AC.
b) Ta có AB + CH = AM + MB + CH
Mà BM = BC; CH = CN (giả thiết)
Do đó AB + CH = AM + BC + CN (5)
Theo phần a ta có: MN ⊥ AC tại N nên ∆ANM vuông tại N.
Do đó cạnh huyền AM là cạnh lớn nhất.
Suy ra AM > AN.
Hay AM + CN > AN + CN
Suy ra AM + CN > AC
Do đó AM + CN + BC > AC + BC (6)
Từ (5) và (6) suy ra: AB + CH > AC + BC
Vậy AC + BC < AB + CH.
Học tốt Đường vuông góc và đường xiên
Các bài học để học tốt Đường vuông góc và đường xiên Toán lớp 7 hay khác:
-
Giải sgk Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên
-
Giải sbt Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên
(199k) Xem Khóa học Toán 7 CD
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:
-
Lý thuyết Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng
-
Lý thuyết Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
-
Lý thuyết Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
-
Lý thuyết Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
-
Lý thuyết Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:
- Giải sgk Toán 7 Cánh diều
- Giải SBT Toán 7 Cánh diều
- Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
- Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)