1) Tứ giác (BFEC) có: (angle BFC = angle BEC = {90^0},,left( {gt} right))
Nên tứ giác (BFEC) nội tiếp đường tròn đường kính (BC) (Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng ({90^0})).
Gọi (O) là trung điểm của (BC) ( Rightarrow O) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác (BFEC).
2) Tam giác (AEH) vuông tại (E) có (I) là trung điểm của cạnh (AH) nên (IE = dfrac{1}{2}AH = IH) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Suy ra (Delta IEH) cân tại (I)( Rightarrow angle IHE = angle IEH)( tính chất tam giác cân)
Mặt khác (angle BHD = angle IHE)( hai góc đối đỉnh) ( Rightarrow angle IEH = angle BHD) (1)
Tam giác (OBE) có (OB = OE) suy ra (Delta OBE) cân tại (O)
( Rightarrow angle OEB = angle OBE)( tính chất tam giác cân) (2)
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:
(begin{array}{l}angle IEH + angle OEB = angle BHD + angle OBE Rightarrow angle OEI = angle BHD + angle DBHend{array})
Mà (angle BHD + angle DBH = {90^0})( tam giác (BHD) vuông tại (D)) ( Rightarrow angle OEI = {90^0}) hay (EI bot OE).
Vậy (IE) là tiếp tuyến của đường tròn (left( O right)) tại (E).
3) Xét tứ giác (CDHE) có (angle CDH + angle CEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}) nên (CDHE) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
( Rightarrow angle EDH = angle ECH) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung (EH)).
Mà (angle ECH = angle IEF) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung (EF)).
( Rightarrow angle EDH = angle IEF).
Xét (Delta IEK) và (Delta IDE) có:
(angle DIE) chung;
(angle EDH = angle IEF,,left( {cmt} right) Rightarrow angle IEK = angle IDE);
( Rightarrow Delta IEK sim Delta IDE,,left( {g.g} right))
( Rightarrow dfrac{{IE}}{{ID}} = dfrac{{IK}}{{IE}} Rightarrow I{E^2} = ID.IK) (2 cạnh tương ứng). Mà (IE = IA Rightarrow I{A^2} = ID.IK) (*).
Ta sẽ chứng minh (AD.DH = DI.DK,,,left( 1 right)).
(begin{array}{l} Leftrightarrow left( {DI + IA} right).left( {DI – IH} right) = DI.DK Leftrightarrow left( {DI + IA} right).left( {DI – IA} right) = DI.DK,,left( {do,,IH = IA} right) Leftrightarrow D{I^2} – I{A^2} = DI.left( {DI – IK} right) Leftrightarrow I{A^2} = DI.IK,,left( {dung,,theo,,left( * right)} right)end{array})
Lại có (Delta ADC sim Delta BDH,,left( {g.g} right)) ( Rightarrow dfrac{{AD}}{{BD}} = dfrac{{DC}}{{DH}} Rightarrow AD.DH = DB.DC,,,left( 2 right))
Từ (1) và (2) ( Rightarrow DI.DK = DB.DC Rightarrow dfrac{{DI}}{{DC}} = dfrac{{DB}}{{DK}}).
Xét (Delta BDK) và (Delta IDC) có: (angle DBI = angle IDC = {90^0};,,dfrac{{DI}}{{DC}} = dfrac{{DB}}{{DK}},,left( {cmt} right)).
( Rightarrow Delta BDK sim Delta IDC,,left( {c.g.c} right)) ( Rightarrow angle DBK = angle DIC) (2 góc tương ứng).
Mà (angle DIC + angle DCI = {90^0} Rightarrow angle DBK + angle DCI = {90^0}) ( Rightarrow BK bot IC).
Mà (angle BMC = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính (BC)) ( Rightarrow BM bot IC).
Vậy (B,K,M) thẳng hàng (đpcm).
