a) Vì B là điểm chính giữa cung nhỏ CD nên B cách đều C và D.
Mà C, D thuộc (O) nên O cũng cách đều C và D.
Do đó, OB là đường trung trực của đoạn thẳng CD, suy ra (widehat {PIB} = {90^o}).
Vì vậy, I thuộc đường tròn đường kính PB.
Mặt khác, H thuộc đường tròn (O) đường kính AB nên (widehat {BHA} = widehat {BHP} = {90^o}).
Do đó, H thuộc đường tròn đường kính PB.
Vì I, H cùng thuộc đường tròn đường kính PB nên tứ giác PHIB nội tiếp.
b) Tứ giác PHIB nội tiếp nên (widehat {HPB} + widehat {HIB} = {180^o}), mà (widehat {AIH} + widehat {HIB} = {180^o}) (góc kề bù), suy ra (widehat {HPB} = widehat {AIH}).
Xét (Delta ABP) và (Delta AHI) có:
+ (widehat {HAI}) chung;
+ (widehat {APB} = widehat {AIH}) (chứng minh trên).
Suy ra (g.g), do đó (frac{{AB}}{{AH}} = frac{{AP}}{{AI}}), vì vậy AH.AP = AI.AB.
c) Xét (Delta APB) có hai đường cao PI và BH cắt nhau tại E, do đó E là trực tâm (Delta APB).
Suy ra AK cũng là đường cao của (Delta APB), do đó (widehat {AKB} = {90^o}) và K thuộc (O).
Ta có (widehat {EKB} = widehat {EIB} = {90^o}) nên K, I cùng thuộc đường tròn đường kính EB, hay tứ giác EIBK nội tiếp.
Suy ra (widehat {EBK} = widehat {EIK}) (góc nội tiếp cùng chắn cung EK).
Mặt khác, do tứ giác PHIB nội tiếp nên (widehat {EBK} = widehat {HIP}) (góc nội tiếp cùng chắn cung PH).
Suy ra (widehat {EIK} = widehat {HIP}) (1)
Xét (Delta OKN) cân tại O có OM là đường cao, do đó OM đồng thời là đường trung trực của đoạn KN.
Vì I thuộc đường trung trực OM của đoạn thẳng KN nên IK = IN, suy ra (Delta IKN) cân tại I.
(Delta IKN) cân tại I có IM là đường trung tuyến, đồng thời là phân giác của (widehat {KIN}).
Do đó (widehat {KIM} = widehat {NIM}), suy ra ({90^o} – widehat {KIM} = {90^o} – widehat {NIM}), ta được (widehat {EIK} = widehat {DIN}) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (widehat {HIP} = widehat {DIN}).
Mặt khác (widehat {PIN} + widehat {DIN} = {180^o}) (góc kề bù), suy ra (widehat {PIN} + widehat {HIP} = {180^o}), hay (widehat {HIN} = {180^o}).
Vậy H, I, N thẳng hàng.
