a) Ta có: (AB,AC) là hai tiếp tuyến của đường tròn (left( O right)), suy ra (OA) là đường phân giác của (widehat {BOC}) (tính chất) nên (widehat {AOC} = frac{1}{2}widehat {BOC}.)
Xét đường tròn (left( O right)), ta có: (widehat {CDB} = frac{1}{2}widehat {BOC}) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung (BC))
Do đó, (widehat {AOC} = widehat {CDB}).
Xét (Delta CMD) và (Delta ACO) có:
(widehat {CMD} = widehat {ACO} = 90^circ ) và (widehat {CDM} = widehat {AOC}) (do (widehat {AOC} = widehat {CDB}))
Do đó (g.g).
b) Xét đường tròn (left( O right)), ta có: (widehat {EBF} = 90^circ ) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Ta có (widehat {ABO} = widehat {EBF} = 90^circ ) nên (widehat {ABE} + widehat {EBO} = widehat {EBO} + widehat {OBF})
Suy ra (widehat {ABE} = widehat {OBF}).
Lại có: (widehat {OBF} = widehat {OFB}) (vì (Delta BOF) cân tại (O) do (OB = OF)) suy ra (widehat {ABE} = widehat {OFB}) (1)
Mà (widehat {ECB} = widehat {OFB}) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (EC) của đường tròn tâm (O)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (widehat {ECB} = widehat {ABE}). (3)
Mặt khác, (AB = AC) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và (OB = OC = R)
Suy ra (OA) là đường trung trực của (BC) mà (E in OA), suy ra (EB = EC).
Do đó (Delta EBC) cân tại (E) nên (widehat {ECB} = widehat {EBC}). (4)
Từ (3) và (4) suy ra (widehat {EBC} = widehat {ABE}) nên (BE) là tia phân giác của góc (B) trong tam giác (ABH).
Vậy [BE] là phân giác của (widehat {ABC}.)
c) Theo câu a, (g.g), suy ra (widehat {OAC} = widehat {DCM} = 30^circ ).
Suy ra (widehat {AOC} = 90^circ – widehat {OAC} = 90^circ – 30^circ = 60^circ ).
Do đó, (widehat {BOC} = 2widehat {AOC} = 120^circ ) hay
Xét (Delta AHC) vuông tại (H), có: (cos widehat {HAC} = frac{{AH}}{{AC}})
Suy ra (AC = frac{{AH}}{{cos widehat {HAC}}} = frac{4}{{cos 30^circ }} = frac{{8sqrt 3 }}{3}{rm{ }}left( {{rm{cm}}} right).)
Xét (Delta AOC) vuông tại (C), có: (OC = AC.tan widehat {OAC} = frac{{8sqrt 3 }}{3}.tan 30^circ = frac{8}{3}{rm{ }}left( {{rm{cm}}} right).)
Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính [OB,OC] và cung nhỏ (BC) là:
[S = frac{{pi .{{left( {frac{8}{3}} right)}^2} cdot 120}}{{360}} = frac{{64pi }}{{27}}{rm{ }}left( {{rm{c}}{{rm{m}}^{rm{2}}}} right)].