Lời giải chi tiết:
*) Ta sẽ cần tính xác suất để bạn A làm được :
+) Đúng k câu trên 50 câu.
+) Sai (left( {50 – k} right)) câu còn lại.
*) A làm đúng k câu, số cách chọn k câu trong 50 câu là (C_{50}^k)
Xác suất đúng 1 câu là (frac{1}{4}), xác suất sai 1 câu là (frac{3}{4})
( Rightarrow ) Xác suất đúng k câu là ({left( {frac{1}{4}} right)^k}), xác suất sai (left( {50 – k} right)) câu là ({left( {frac{3}{4}} right)^{50 – k}})
Vậy xác suất để bạn A đúng k câu là: ({P_k} = C_{50}^k{left( {frac{1}{4}} right)^k}{left( {frac{3}{4}} right)^{50 – k}})
Xét
(begin{gathered} frac{{{P_{k + 1}}}}{{{P_k}}} = frac{{C_{50}^{k + 1}{{left( {frac{1}{4}} right)}^{k + 1}}{{left( {frac{3}{4}} right)}^{50 – left( {k + 1} right)}}}}{{C_{50}^k{{left( {frac{1}{4}} right)}^k}{{left( {frac{3}{4}} right)}^{50 – k}}}} hfill = frac{{frac{{50!}}{{left( {k + 1} right)!left( {50 – k – 1} right)!}}.frac{1}{4}}}{{frac{{50!}}{{k!left( {50 – k} right)!}}.frac{3}{4}}} hfill = frac{{50!}}{{left( {k + 1} right)!left( {50 – k – 1} right)!}}.frac{1}{4}.frac{{k!left( {50 – k} right)!}}{{50!}}.frac{4}{3} hfill = frac{{50 – k}}{{3left( {k + 1} right)}} hfill end{gathered} )
Ta có:
(begin{gathered} frac{{{P_{k + 1}}}}{{{P_k}}} > 1 Leftrightarrow frac{{50 – k}}{{3left( {k + 1} right)}} > 1 Leftrightarrow 50 – k > 3k + 3 Leftrightarrow k < frac{{47}}{4} = 11,75 Rightarrow k in left{ {1;2;…;11} right} hfill frac{{{P_{k + 1}}}}{{{P_k}}} < 1 Leftrightarrow frac{{50 – k}}{{3left( {k + 1} right)}} < 1 Leftrightarrow 50 – k < 3k + 3 Leftrightarrow k > frac{{47}}{4} = 11,75 Rightarrow k in left{ {12;13;…;49} right} hfill k = 1 Rightarrow {P_2} > {P_1} hfill k = 2 Rightarrow {P_3} > {P_2} hfill …. hfill k = 11 Rightarrow {P_{12}} > {P_{11}} hfill k = 12 Rightarrow {P_{13}} < {P_{12}} hfill … hfill k = 49 Rightarrow {P_{50}} < {P_{49}} hfill Rightarrow {P_{11}} > {P_{10}} > … > {P_1} hfill ,,,,,,{P_{12}} > {P_{13}} < … > {P_{50}} hfill end{gathered} )
Vì xác suất làm đúng câu k của học sinh A đạt giá trị lớn nhất nên (left[ begin{gathered} k = 11 hfill k = 12 hfill end{gathered} right.)
Ta có: (frac{{{P_{12}}}}{{{P_{11}}}} > 1 Rightarrow {P_{12}} > {P_{11}} Rightarrow k = 12) thỏa mãn.
Vậy khi đó An làm đúng 12 câu và sai 38 câu, số điểm của An là (12.0,2 = 2,4) điểm.
