Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b:
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b, khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau:
- a và b cắt nhau tại điểm M, ta kí hiệu a∩b=M.
- a và b song song với nhau, ta kí hiệu a//b.
- a và b trùng nhau, ta kí hiệu a≡b.
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b, khi đó ta nói a và b là hai đường thẳng chéo nhau.
- Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng a có một và chỉ một đường thẳng song song với a.
- Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
- Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.
3. Bài toán Tìm giao tuyến của hai mặt bằng quan hệ song song
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung Mvà lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d′ thì giao tuyến của (α) và (β) là đường thẳng đi qua M song song với d và d′.
Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG).
b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (IJG) và hình chóp là một hình bình hành.
Hướng dẫn:
a) Ta có ABCD là hình thang và I,J là trung điểm của AD,BC nên IJ//AB.
Vậy ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪G∈(SAB)∩(IJG)AB⊂(SAB)IJ⊂(IJG)A//IJ
⇒(SAB)∩(IJG)=MN//IJ//AB với
M∈SA,N∈SB.
b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNJI.
Do G là trọng tâm tam giác SAB và
M//AB nên MNAB=SGSE=23
(E là trung điểm của AB).
⇒MN=23AB.
Lại có IJ=12(AB+CD). Vì MN//IJ nên MNIJ là hình thang, do đó MNIJ là hình bình hành khi MN=IJ
⇔23AB=12(AB+CD)⇔AB=3CD.
Vậy thiết diện là hình bình hành khi AB=3CD.
4. Bài toán Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp:
Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:
- Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
- Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh MN // CD.
b) Gọi P là giao điểm của SC và (ADN), I là giao điểm của AN và DP. Chứng minh SI // CD.
Hướng dẫn:
a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN//AB.
Lại có ABCD là hình thang ⇒AB//CD.
Vậy {MN//ABCD//AB⇒MN//CD.
b) Trong (ABCD) gọi E=AD∩BC, trong (SCD) gọi P=SC∩EN.
Ta có E∈AD⊂(ADN) ⇒EN⊂(AND)⇒P∈(ADN).
Vậy P=SC∩(ADN).
Do I=AN∩DP⇒{I∈ANI∈DP
⇒{I∈(SAB)I∈(SCD)⇒SI=(SAB)∩(SCD).
Ta có ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB⊂(SAB)CD⊂(SCD)AB//CD(SAB)∩(SCD)=SI⇒SI//CD.
5. Bài toán Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui
Phương pháp:
Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a,b lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh a,b song song hoặc cắt nhau, khi đó A,B,C,D thuộc mp(a,b).
Để chứng minh ba đường thẳng a,b,cđồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh a,b,c lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng (α),(β),(δ) trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được a,b,c đồng qui.
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M,N,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA,SB,SC và SD.
a) Chứng minh ME,NF,SO đồng quy.
b) Chứng minh M,N,E,F đồng phẳng.
Hướng dẫn:
a) Trong (SAC) gọi I=ME∩SO, dễ thấy I là trung điểm của SO, suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD.
Vậy FI//OD.
Tương tự ta có NI//OB nên N,I,F thẳng hàng hay I∈NF.
Vậy ME,NF,SO đồng qui.
b) Do ME∩NF=I nên ME và NF xác định một mặt phẳng.
Suy ra M,N,E,F đồng phẳng.
6. Bài tập Ôn tập
Bài 1:
Cho hình chóp S.ABC. Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và SAB.
a) Chứng minh G1G2//AC.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BG1G2) và (ABC).
Hướng dẫn:
a) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC.
Do G1,G2 là trọng tâm các tam giác SBC và SAB nên SG1SN=23,SG2SM=23⇒SG1SN=SG2SM
⇒G1G2//MN.
Mặt khác MN//AC⇒G1G2//AC.
b) Ta có ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪B∈(BG1G2)G1G2⊂(BG1G2)AC⊂(ABCD)G1G2//AC
⇒(BG1G2)∩(ABCD)=d//AC//G1G2.
Bài 2:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD và AB.
a) Hãy xác định các điểm I∈AC và J∈DN sao cho IJ//BM.
b) Tính IJ theo a.
Hướng dẫn:
a) Trong (BCD), từ D kẻ đường thẳng song song với BM cắt BC tại K. Nối K và N cắt AC tại I. Trong (IKD), từ I kẻ đường thẳng song song với DK cắt DN tại J.
Khi đó IJ//BM.
b) Do BM là đường trung bình của tam giác CKD nên KD=2BM=2.a3√2=a3-√.
Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó
HN//AC⇒NKNI=KHHC=3HCHC=3
⇒NK=3NI⇒KD=3IJ
⇒IJ=13KD=a3√3.
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang.Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh SA,SB,SC và SD lần lượt tại các điểm M,N,P,Q.
a) Giả sử MN∩PQ=I, AB∩CD=E. Chứng minh I,E,S thẳng hàng.
b) Giả sử Δ=(IBC)∩(IAD) và Δ⊂(α).
Chứng minh MQ//NP//AB//CD.
Hướng dẫn:
a) Ta có SE=(SAB)∩(SCD)
I=MN∩PQ⇒{I∈MN⊂(SAB)I∈PQ⊂(SCD)
⇒I∈(SAB)∩(SCD), hay I∈SE.
b) Do ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪I∈(IAD)∩(IBC)AD//BCAD⊂(IAD)BC⊂(IBC)
⇒(IAD)∩(IBC)=Δ//AB//DC,I∈ΔMặt khác theo giả thiết Δ⊂(α) nên
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Δ⊂(α)BC⊂(SBC)Δ//BC(α)∩(SBC)=NP⇒NP//BC//Δ
Tương tự ta cũng có MQ//AD//Δ.
Vậy MQ//NP//BC//AD//Δ.